jueves, 11 de noviembre de 2010

EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE LA ELIPSE

-Hallar la ecuación canónica de la elipse

\begin{displaymath}4\,x^2 + y^2 - 8\,x + 4\,y - 8 = 0\end{displaymath}


Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.
 
Solución
Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en ambas variables $x$ e $y$.


\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \left(4 x^2 + y^2 - 8 x + 4 y - 8 \right... ...+ \frac{{\left( y + 2 \right) }^2}{16}} & = & 1 \\ \end{array}\end{displaymath}


De donde obtenemos que el centro es $(1, -2)$, el valor de $a = 4$ ($a$ es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el valor de $b = 2$ y el valor de $c$ está dado por :


\begin{displaymath}c^2 = 4^2 - 2^2 ;\Longrightarrow \; c= {\sqrt{12}} = 2\,{\sqrt{3}}\end{displaymath}


Y así, los focos están dados por $(1, -2 \pm 2\sqrt{3})$ y los vértices po $(1,-6),(1,2)$. Por último, la excentricidad es


\begin{displaymath}e = \frac{c}{a} = \frac{2\,{\sqrt{3}}}{4} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{displaymath}


La gráfica se muestra en la figura 4.
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